Ensemble connexe par arcs exemples

Je ne comprends pas le rapport avec les barycentres. 

Raoul.S je crois avoir trouvé. Je considère $p(t)=a+tx_1 +(1-t)x_2$ définie sur $[0,1]$. Montrons que $p$ est à valeurs dans $A$. 

Soit $t \in [0,1]$. Comme $x_1$ et $x_2$ sont des éléments de $F$ et $F$ est un sous-espace vectoriel alors il est stable et $t x_1 + (1-t)x_2 \in F$. Ainsi $p(t) \in A$

On a directement $p(0)=a+x_2=y$ et $p(1)=a+x_1=x$ ce qui permet de conclure.

Si on prend $E$ un espace vectoriel normé, je ne saisis pas à quoi sert l'hypothèse "normé" pour la convexité ? 

D'accord merci. 

Soit $(t_n)$ une suite d'éléments de $[0,1]$ qui converge vers $t$. Montrons que $f(t_n)=a+ t_n x_1 + (1-t_n)x_2$ converge vers $f(t)$

Comme $t_n \longrightarrow t$ alors $a+ t_n x_1 + (1-t_n) x_2 \longrightarrow a+ t x_1 +(1-t)x_2 = f(t)$

Par caractérisation séquentielle, $p$ est continue sur $[0,1]$. Elle est même continue sur $\R$.